• Σε μια κατσαρόλα προσθέτουμε νερό μέχρι τη μέση και αφήνουμε να ζεσταθεί και όχι να βράσει, σε μέτρια φωτιά.
• Με τον τρίφτη τρίβουμε το κρεμμύδι με το μεγαλύτερο μέγεθος τριψίματος.
• Σε ένα μπολ προσθέτουμε το τριμμένο κρεμμύδι, τον κιμά, το ρύζι, το μαϊντανό ψιλοκομμένο, το δυόσμο θρυμματισμένο, το αυγό, το ξύσμα λεμονιού, αλάτι, πιπέρι και 2 κ.σ. ελαιόλαδο.
• Ανακατεύουμε τα υλικά με τον κιμά να ομογενοποιηθούν, φορώντας γάντια.
• Προσθέτουμε στο μπολ το νερό και ανακατεύουμε τα υλικά.
• Πλάθουμε τον κιμά σε μπαλάκια των 40-50 γρ. το καθένα.
• Σε ένα μπολ προσθέτουμε το αλεύρι και πανάρουμε τα γιουβαρλάκια.
• Με μία τρυπητή κουτάλα μεταφέρουμε τα γιουβαρλάκια στην κατσαρόλα με το ζεστό νερό.
• Προσθέτουμε στην κατσαρόλα την πατάτα κομμένη σε μέτριους κύβους, το καρότο κομμένο σε ροδέλες, αλάτι, πιπέρι και το υπόλοιπο ελαιόλαδο και αφήνουμε να πάρουν μία βράση.
• Χαμηλώνουμε τη φωτιά σε μέτρια προς χαμηλή, μισοσκεπάζουμε την κατσαρόλα με το καπάκι και αφήνουμε να βράσουν για 40-45 λεπτά.

Για το αυγολέμονο
• Σε ένα μπολ σπάμε τα αυγά και χτυπάμε με το σύρμα χειρός, να αφρατέψουν.
• Προσθέτουμε σιγά σιγά το χυμό λεμονιού, ανακατεύοντας.
• Μόλις βράσουν τα γιουβαρλάκια, με μία κουτάλα παίρνουμε από την κατσαρόλα λίγο από το ζωμό και τον αδειάζουμε σιγά σιγά στον μπολ με τα αυγά, ανακατεύοντας συνεχώς με το σύρμα.
• Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία ακόμα 2 φορές.
• Αδειάζουμε το μείγμα από το μπολ στην κατσαρόλα και αφήνουμε να πάρει μία βράση, σε μέτρια φωτιά.
• Αποσύρουμε από τη φωτιά, προσθέτουμε τον άνηθο ψιλοκομμένο και σερβίρουμε.