• Καθαρίζουμε και κόβουμε τα κολοκύθια, τις πατάτες και τη μελιτζάνα σε μέτρια κομμάτια.
• Σε ένα τηγάνι προσθέτουμε το ελαιόλαδο και αφήνουμε να ζεσταθεί.
• Προσθέτουμε στο τηγάνι τα λαχανικά και το σκόρδο ψιλοκομμένο και σοτάρουμε για 4 λεπτά, σε μέτρια φωτιά.
• Προσθέτουμε τον πελτέ ντομάτας, ανακατεύουμε και σοτάρουμε για 1 λεπτό.
• Προσθέτουμε το χυμό ντομάτας, ανακατεύουμε και αποσύρουμε το τηγάνι από τη φωτιά.
• Σε ένα ταψί 26x36 εκ. προσθέτουμε τις ντομάτες τριμμένες στο χοντρό μέρος του τρίφτη, το δυόσμο, αλάτι, πιπέρι, απλώνουμε τα λαχανικά και ανακατεύουμε.
• Ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 180°C, στον αέρα, για 45 λεπτά.
• Αν χρειαστεί, προσθέτουμε λίγο νερό για να μην στεγνώσει το φαγητό.
• Σε μία κατσαρόλα με νερό προσθέτουμε τις γαρίδες, αλάτι, τη δάφνη και το πιπέρι και βράζουμε για 4 λεπτά, σε μέτρια φωτιά.
• Σουρώνουμε τις γαρίδες και μεταφέρουμε στο ταψί με το μπριάμ.
• Σερβίρουμε το μπριάμ με μαϊντανό ψιλοκομμένο.