• Κόβουμε σε φέτες τα κολοκύθια και τις μελιτζάνες
• Σε ένα ταψί στρώνουμε τα λαχανικά και προσθέτουμε αλάτι, πιπέρι και ελαιόλαδο.
• Ψήνουμε στο φούρνο στους 180°C για 15-18 λεπτά.
• Σε μία κατσαρόλα προσθέτουμε ελαιόλαδο και το κρεμμύδι, κομμένο σε ροδέλες, και σοτάρουμε.
• Προσθέτουμε τη ζάχαρη και συνεχίζουμε το σοτάρισμα μέχρι το κρεμμύδι να καραμελώσει.
• Προσθέτουμε την ντομάτα, αλάτι και πιπέρι και βράζουμε σε χαμηλή φωτιά για 20-25 λεπτά.
• Σε ένα ταψί 22 εκ. απλώνουμε μία στρώση από τα λαχανικά, ένα μέρος από την σάλτσα ντομάτας και ένα μέρος από τη φέτα και μοτσαρέλα.
• Ενδιάμεσα πασπαλίζουμε με φρέσκο θυμάρι.
• Συνεχίζουμε τη διαδικασία για δύο ακόμη στρώσεις.
• Σε ένα μπολ προσθέτουμε το γιαούρτι, το αυγό, αλάτι και πιπέρι και ανακατεύουμε να ομογενοποιηθούν.
• Απλώνουμε την μπεσαμέλ γιαουρτιού πάνω από την τελευταία στρώση και τελειώνουμε με το τελευταίο μέρος φέτας και μοτσαρέλας.
• Ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο, στον αέρα, στους 190°C για 20-25 λεπτά.