• Σε μία κατσαρόλα προσθέτουμε το νερό, το κοτόπουλο, το 1 καρότο, το 1 κρεμμύδι και το θυμάρι και βράζουμε για 60-70 λεπτά, σε μέτρια φωτιά, αφαιρώντας με μία τρυπητή κουτάλα τους αφρούς που δημιουργούνται στην αρχή.
• Μεταφέρουμε το κοτόπουλο σε ένα σκεύος και αφήνουμε να κρυώσει.
• Μόλις κρυώσει το κοτόπουλο, ξεψαχνίζουμε με ένα πιρούνι ή με τα χέρια μας, φορώντας γάντια.
• Αφαιρούμε τα λαχανικά και σουρώνουμε τον ζωμό από την κατσαρόλα σε ένα μπολ.
• Στην ίδια κατσαρόλα προσθέτουμε το δεύτερο καρότο και το κρεμμύδι κομμένα σε μικρούς κύβους και σοτάρουμε για 4 λεπτά, σε μέτρια φωτιά.
• Προσθέτουμε στην κατσαρόλα τον ζωμό που έχουμε σουρώσει, το ρύζι, το φύλλο δάφνης, αλάτι και πιπέρι και αφήνουμε να βράσει για 30 λεπτά, σε μέτρια προς χαμηλή φωτιά.
• Σε ένα μπολ σπάμε τα αυγά και χτυπάμε με το σύρμα χειρός να αφρατέψουν.
• Προσθέτουμε σιγά σιγά στο μπολ με τα αυγά το χυμό λεμονιού.
• Μόλις βράσει ο ζωμός, προσθέτουμε σιγά σιγά μία κουτάλα στο μπολ με τα αυγά, ανακατεύοντας.
• Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία για δύο φορές.
• Αδειάζουμε το μείγμα από το μπολ στην κατσαρόλα και αφήνουμε να πάρει μία βράση σε μέτρια φωτιά.
• Αποσύρουμε την κατσαρόλα από τη φωτιά και προσθέτουμε τον μαϊντανό ψιλοκομμένο και το μαδημένο κοτόπουλο που έχουμε βράσει.
• Ψήνουμε τις φέτες του ψωμιού στους 180°C, στον αέρα, για 4 λεπτά στη μεσαία σχάρα.
• Σερβίρουμε την κοτόσουπα σε βαθύ πιάτο με τραγανές φέτες ψωμιού.