• Προθερμαίνουμε την ψησταριά με όλους τους καυστήρες ανοιχτούς, μέχρι να φτάσει τους 180°C.
• Τοποθετούμε τα ξύλα στο ειδικό δοχείο καπνίσματος και το βάζουμε επάνω από τον τελευταίο πλαϊνό καυστήρα, ώστε να αρχίσει να καπνίζει στο εσωτερικό της ψησταριάς.
• Σε ένα μπολ αφρατεύουμε το βούτυρο για 2 λεπτά, χτυπώντας το με ένα σύρμα.
• Προσθέτουμε και τα δύο είδη ζάχαρης και συνεχίζουμε το χτύπημα για 1 λεπτό.
• Ρίχνουμε το αυγό, τη βανιλίνη, το μπέικιν και το αλάτι και ομογενοποιούμε καλά.
• Προσθέτουμε το αλεύρι και ανακατεύουμε με σπάτουλα, μέχρι να έχουμε την υφή ενός μαλακού ζυμαριού.
• Προσθέτουμε τις σταγόνες σοκολάτας και ανακατεύουμε ελάχιστα.
• Σε μαντεμένιο τηγάνι 22 εκ. απλώνουμε λίγο βούτυρο στα τοιχώματα και τη βάση και απλώνουμε ομοιόμορφα όλο το μείγμα που ετοιμάσαμε.
• Σβήνουμε τους δύο αριστερούς καυστήρες - αφού έχουμε φτάσει τους 180°C - και αφήνουμε αναμμένους τους δύο δεξιά.
• Τοποθετούμε το μαντεμένιο τηγάνι στην αριστερή πλευρά και ψήνουμε έμμεσα, για περίπου 25-30 λεπτά με κλειστό το καπάκι, μέχρι να αποκτήσει εξωτερικά κρούστα, ενώ στο εσωτερικό παραμένει ζουμερό.
• Αποσύρουμε το τηγάνι από την ψησταριά και γαρνίρουμε με μπάλες παγωτού και σιρόπι καραμέλας.
• Σερβίρουμε αμέσως, όσο είναι ζεστό, ώστε να αρχίσει να λιώνει ελαφρά το παγωτό.